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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 `z+4NaR*%;  
ro0gMga:~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. =K@jyA~g;  
ziO6-a&h  
　　1、三角函数本质： EnH@ v^o  
xSqx w :?i  
　　三角函数的本质来源于定义 a\__BC/n  
.>w< Y  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 C=QDqBW  
&[!f^O,  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Edn%QXZ@.  
qw& `& oU  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： uUP*B  
{mz %8`!  
　　推导： P _=pok  
"r`0K6V  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 T~X. 1xC  
+Zpk//I#m  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ZR647RZ#  
Pw|t@{7  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d'`U{p  
L, b0p~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <:r [(F  
y0Y[Xlp"  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^K.bQ4Aa^  
Rx:&fsh]  
　　[1] w-!rFO  
 -]9o]  
　　两角和公式 a@@ GgZ  
= Fj+mD  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB [=]!Mx  
klt* cqO}d  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .1A%=Z6JZ  
LC_J )f  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ?'Lpc t`  
hOb4c,f#_  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB I%-#\  
=){ tyl0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Y0 ~9 B,  
je% hB2S  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5 Q04>$  
=$^zF+  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -juF|K62  
Yn Vjm8*  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) U*u,p<.  
$vof,Dqwe  
倍角公式 2H@QHu8  
o*!k4*J|  
　　Sin2A=2SinA•CosA N[<o.X  
qw/ ~\13  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9kO}/  
g7-N)J[ "=  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ffX/CA2  
YpVu3C1x<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Rzb7Ip'V  
7bE6! k  
三倍角公式 Kv)u3q  
|4a`?!kvW  
　　 B-w=/m7  
QJ9]#d|7T  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `].Zm3l  
ECay;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) lG<)h:'c  
_Q-"9$}'B  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 3qZNAS?X5  
WK^ubeyG  
三倍角公式推导 F&/b ,c(,  
+S!r]xK7  
　　sin3a N2t;9 @">  
$L{D\4J\<  
　　=sin(2a+a) }lVS3\Ep  
o+sJsF5S  
　　=sin2acosa+cos2asina Cw-%~iK\+d  
$3 xXd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ((Cy+7"r  
%_FEXh b  
　　=3sina-4sin³a M.#>W^zW  
Kd^I!?_  
　　cos3a JRdkr  
4pxiT=   
　　=cos(2a+a) 7[HEf?b'A  
$y.#p9:l  
　　=cos2acosa-sin2asina @U8e9_8"  
mb?E6l6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa +6xG5]'6  
gX[-`3Ce  
　　=4cos³a-3cosa [E<OE+`5  
)^Yv@wpIt  
　　sin3a=3sina-4sin³a 'x+e{  
/7 uf)9  
　　=4sina(3/4-sin²a) ?p|j%Ze  
l1|LH5;i  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] $1%QzcW}  
)|0RT  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) z%eKqV12~  
`1-!23   
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) [fxK3D8 f  
3EL_%efM  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #eFKlRN  
Ar QF>^  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) )O^MPJA<  
KPN/246c4P  
　　cos3a=4cos³a-3cosa SrD 2k)  
4^\4FrsTI  
　　=4cosa(cos²a-3/4) XzZgUbN  
/,@4UBGf  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 5f. W\Uo  
>4<8d&  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Gpz%{i}  
UF8  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ..o{'.AN  
i19) *{~  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} YZ b7*)c]  
nvt!>m"[|  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) XH~ :@b  
A|u-qb;  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }0+6?F(,Ze  
DwL1r~  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] wO$>h bft  
L5{zp!:  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )T<[7$  
u(LH)a2  
　　上述两式相比可得 j la1(  
!]>m |L  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) V[wuV{Ne  
hC}=8b$  
半角公式 Q}T0Ji  
!6. hAwj  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 4 '&Zt  
4|.~7  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. a@7*&i!@d  
0P)nft!cz  
和差化积 A P@Xb~:  
{dX,EP  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zeJ*=Y  
bYXf7xqt^n  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] d"~ -8e  
BH5U bz  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] x lP| u\  
*Biz A~y|  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Pa)X0r  
 dK0}v?  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ?vh@ FcO  
Rc5O A  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ]]W]- I%p  
LhizuX-R6  
积化和差 rWT69DR:  
o7rv[w!)  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] k+MMM,mQH  
-3*: v%  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] A3CQ1^,  
"Y}va1a  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dU]1qS1  
,'(2Q&c  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] g+X>bi"  
x a#C[jZ  
诱导公式 ``TTj{N u  
i|_4 pz  
　　sin(-α) = -sinα @L,3!L"V{  
'&+p+Dbt  
　　cos(-α) = cosα  \.  
BY_^P Ys  
　　sin(π/2-α) = cosα 0=\}gSk  
PN!j{F  
　　cos(π/2-α) = sinα ]KD,#-  
7}Y`Cxa  
　　sin(π/2+α) = cosα w5- I++  
to,RaII;Ct  
　　cos(π/2+α) = -sinα [AtUG5[]F  
%g/$LXiP  
　　sin(π-α) = sinα |X4~+Q9  
un"x= *E  
　　cos(π-α) = -cosα 3ZurX  
VYIKb'r&  
　　sin(π+α) = -sinα ,q *Kb  
jJ>@$4,'bW  
　　cos(π+α) = -cosα v-qt~ sdf|  
F!%rNM[ay  
　　tanA= sinA/cosA EZ' H6W&u$  
3~97K3  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα sYoO[0hsT)  
aM&B[T)  
　　tan（π/2－α）＝cotα Y4h/3{q  
ET'6+ Ou  
　　tan（π－α）＝－tanα u *Qtx!6  
WzXGe}  
　　tan（π＋α）＝tanα 19u90  
p} b>|!H  
万能公式 =Jt]g%>I  
\takRG7K/  
　　 I=[UG%E:  
MS+F!N  
其它公式 k A]B7 6t  
Q!?t$I$S  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 hN1iLi3e  
GN$L} f  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 N1)u{  
HhH2e:D&A  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 t<^D6{  
-7[|4-\9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -/]MD~D  
|2[cy2  
　　对于任意非直角三角形,总有 fb<!NGd  
0@\: AI  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC yF'"AMn  
'SUBBk&2  
　　证: D\l= v/E  
T-x[fLb/8  
　　A+B=π-C w*r?1Xyj  
,uK-f}o<#  
　　tan(A+B)=tan(π-C) se Dy:R N  
SRF1tLOVO  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) D=Uc>e^P  
JH@ ca  
　　整理可得 BMjB<R5  
h;3pQ| ~W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC s_-Eg\HD  
M(IM5 )  
　　得证 19LHLM kJ  
,]5nc3C  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 7^`gy5  
(_CID_g  
其他非重点三角函数 hRF+Wv8TI  
K=]e]lG  
　　csc(a) = 1/sin(a) bs;p9m)S  
Ku7l%`  
　　sec(a) = 1/cos(a) ms}Zi_8/c  
LCcwYr_Qr  
　　 C@{|d6a |  
zsHh>KG ,S  
双曲函数 _ihNNWv  
eO!:p.( i  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ;}b 6#s`l  
off" ]pbA  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8pG.&cuGj  
OK[4`* ]U  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) J;h {R@>  
O.@sU9su%  
　　公式一： |H6ZE?l  
;j gKj8[  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,>oU~7D  
!vSlTj6"O  
　　sin（2kπ＋α）= sinα q&l-P09  
cAybb`K:  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Z@wtX9(H?  
SK1F=`/b  
　　tan（kπ＋α）= tanα KN$^-:w&L  
waY&RH  
　　cot（kπ＋α）= cotα .%#JBX=;  
w~ni^?lM  
　　公式二： eW-gS  
OaJV/ 0  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： <@|NO}7  
sN-7 *  
　　sin（π＋α）= -sinα &t B^zq  
*[kPY  
　　cos（π＋α）= -cosα h=[ K^F  
`"0jO9|S  
　　tan（π＋α）= tanα XR?)E#4  
bkkZA"\f  
　　cot（π＋α）= cotα hmbj  
7}$F_:E  
　　公式三： }~+ b  
U*yos{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Lv%cuZ Xh  
KZ }aq4  
　　sin（-α）= -sinα 1 [d%*  
1eecjhQ  
　　cos（-α）= cosα :{Y@mi  
.].tzh  
　　tan（-α）= -tanα %3U/7R] $^  
'j$)xsU]W  
　　cot（-α）= -cotα Ky ]U^Hs  
>hz|w*I_  
　　公式四： ae @  
eRhY!Ag  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Qi<5_:c4O  
#Aj"~Tr  
　　sin（π-α）= sinα ~P]HE%  
.l++*n6W  
　　cos（π-α）= -cosα \9Aa#Ql1T  
vj>>/  
　　tan（π-α）= -tanα #*hv|p2/  
zO<j={u/N  
　　cot（π-α）= -cotα &kychZjd  
c4#!@M#L%  
　　公式五： fg/OH]IH  
60[1  m  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： |!jd3 ~  
i{X1N  
　　sin（2π-α）= -sinα ]nB cy $  
#)tzjaUn  
　　cos（2π-α）= cosα 9|g"ce38  
_6bM`:  
　　tan（2π-α）= -tanα /}0Q8A DF  
I?q.|T-  
　　cot（2π-α）= -cotα D6V@Z@qQQ  
C=6o'b  
　　公式六： 8w][`F}  
M4qaV' `  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： fsL:24Ug  
GHS3L$Op|  
　　sin（π/2+α）= cosα zMgD/ )H  
F8O["xFJO  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2 =S^c  
 !6xsEF]+  
　　tan（π/2+α）= -cotα -Ol<8  
k pk~xE6  
　　cot（π/2+α）= -tanα -tRT4eKp<  
Z5 3(A.*.  
　　sin（π/2-α）= cosα EpC$5Vc|  
Vs;\RlG  
　　cos（π/2-α）= sinα i{\)0@{[  
GO{ A*z  
　　tan（π/2-α）= cotα !k0CM_p:u  
="c7n:P  
　　cot（π/2-α）= tanα JxKa.:u-  
W}C{  
　　sin（3π/2+α）= -cosα fW{owkZd  
]&JLKwZ.  
　　cos（3π/2+α）= sinα Z+_;<B  
zt{OaBPl:  
　　tan（3π/2+α）= -cotα u F!|DpHm  
=ezzG"\'r  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 1rA'u"x  
p;C3\\A  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 9h,>now  
M7v G53k  
　　cos（3π/2-α）= -sinα nG6g~hV  
r<n.WI  
　　tan（3π/2-α）= cotα j Y>-0"x  
"gb&$ /  
　　cot（3π/2-α）= tanα ]X NW  
MYJ <tPo  
　　(以上k∈Z) I0p!>s3W  
BO[o }'  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 X6!V<}-8D  
bkN!P?gtX4  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = #YypJG<m  
P!jm|hKx  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } *st>*`mf:  
]l`cXq; 4  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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