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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 WactnQP  
5C/ fPH4  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. lJO OP  
e"&:oYe  
　　1、三角函数本质： W%#f-PH  
W<i] ls  
　　三角函数的本质来源于定义 y# 3w  
Tch7KLH  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 X-}{99  
wDXpR'c/  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 \/Ad}Ipr  
B(sz0$  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： WkPW*av  
t]EHl*f  
　　推导： Jef;;FgcZ,  
 ErT   
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 8_z"8\&d  
j9U,:g(  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ki8q"#)  
7|DYeok/P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) HK',3 _  
Yg4 ( =-$I  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 x}qlp*qO  
DiJ4PnZ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Y}F{I u]<@  
r%lQapi  
　　[1]  4}nMN-y  
Vk]G+S<  
　　两角和公式 vHDxxUx/  
=n.kn.=*  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Gn19/[}BX  
;Hc Qa  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ]AsqC^5?  
PJ,=B  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 8Bj$@H `  
vg8L09(  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB "s<~j}P  
+FK=^YYs  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) iL|?*#X  
'0oL3YC^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) \B\3`9lS  
QSe'##M  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  %mh>#=g  
>R$+)`jA4W  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) M]5bqGCz3  
>n10LBn  
倍角公式  !#  
eEYR^ |`8  
　　Sin2A=2SinA•CosA \+AdHR T  
P4>8WBJ,  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 "6u3k  
&g2oo9Kwg  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5F4g sv  
 GU?vA/  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） @=6^inYpa  
-\wByf'5A  
三倍角公式 s43fkM2  
\s!~M{6$'  
　　 d@ a!ga  
yKD^ S'K  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) IW>V cx]  
#kMUIo[N  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \wl)Ya_ij  
.(|y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) yi7M#>>d  
3b8QT:ma  
三倍角公式推导 UF6#-F7A1  
)=Ix_x  
　　sin3a Y~ D  
f_TK?FQ  
　　=sin(2a+a) _E\;wwlc.  
!{:Rg:}  
　　=sin2acosa+cos2asina o f$00R  
;*H)Q9  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina pb'lZ;Qpym  
^-`y_g{u  
　　=3sina-4sin³a Q3wj=6`Q.  
<\^k)$o  
　　cos3a NZ1}e91y  
t8#+)(  
　　=cos(2a+a) 1 %>Q Z{  
LBS{{-\F  
　　=cos2acosa-sin2asina F97I(z0  
tkH }z@;  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa P\u|l8{m  
P$`Aj8>i  
　　=4cos³a-3cosa YsyI-  
`t7R!2'S  
　　sin3a=3sina-4sin³a )u p 0cU  
x\f)YXtTs  
　　=4sina(3/4-sin²a) IJ%X;{  
f|n{v2Ux!  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] WNAp)TmC  
2&&C.L |r-  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) !0JD5y  
Qxh ";^4  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) D){LTH$z>-  
m PzAm_  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] /PQ$*V  
j%q}@`dC  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ^ +'o@[#+  
/2|_&T)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa m|*akZEg  
jq:?@r.9  
　　=4cosa(cos²a-3/4) )OBxm'K(  
IZR7L&\OO  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] g Wld\5&?  
LPZC@vH  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) d:pPvV3_  
=s+4KJsgf  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) > $ U^  
; ru)4 ^  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} <H-12x|  
U|wmb|Jp  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) %VsX% ncQ  
ivN ndg5  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] _(46nQHOBo  
V44E?(*  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] OrBIjnI  
u 7^2#;=  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 3(=/@  
33~itM7C  
　　上述两式相比可得 (u}Ud  
iqt;oU^O1  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ==Y-Jq*4  
/,.:s!\  
半角公式 (o2_gIYJ  
=1PVe} ^}  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); #CA\+<Msb<  
`DdB'P{<:  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 1}7F/8o*  
CnnWom   
和差化积 n?0B'QO  
Fg-.Ne_hx9  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] EoC!L*QC  
PTO}9Pp  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] m`;.JhDE  
TSST|6pN H  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a@gCTJ~1U  
|1dK-Lxx  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] T{B.eL.8  
LOR\}&>\k  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Wh-z\| v  
O)]T^,oN@  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) }BX~hi   
3-X * I  
积化和差 hu);*cU5<  
b k##geq  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [}|WU'j  
L5]4#V~ O  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] . xJuj/F  
vn;[{C  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] HSL  
lHEVH1f[  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Hh;*ne/G  
~ZX@sR; g`  
诱导公式 `,Wb31h  
`=2TK9  
　　sin(-α) = -sinα f_|7>V#  
6*9|["wK "  
　　cos(-α) = cosα rYj Ii a  
m>Ndg  
　　sin(π/2-α) = cosα kh}fJ5I|  
:iv$N0fDQ  
　　cos(π/2-α) = sinα J"%^, /   
L[VGvb4bC  
　　sin(π/2+α) = cosα zf'nve<  
mFlBhzGIF  
　　cos(π/2+α) = -sinα `XL=j-+T  
}!Z,+`<T  
　　sin(π-α) = sinα O`pB()  
,b% Y"m;  
　　cos(π-α) = -cosα xW?Ue+L  
k?r5-$   
　　sin(π+α) = -sinα RbE8_J\v  
}Y-o8M?U  
　　cos(π+α) = -cosα { $`r;juI  
`6thR V>JV  
　　tanA= sinA/cosA 'S#[%" \~  
.P\'-`Qr  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα HH\QeVtc0h  
} -z \Mv  
　　tan（π/2－α）＝cotα $UsZ^>O  
^"m a/X=  
　　tan（π－α）＝－tanα H, CSCx  
L,-%R  
　　tan（π＋α）＝tanα SE)g|[H  
=#2ke O  
万能公式 $V6lyh@,<  
2&m]#Wkg}X  
　　 Gm6m;f"a_  
PQwg}3%  
其它公式 8&["6CAu  
f1X0/4  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 !r'w ksGq  
Tbm,8}"3;  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 4"oX?NeJ{^  
Vej@Q| 2  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ue|;9OUM  
SxohB IC  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 F`0d$'M~  
Dk\7{3y:  
　　对于任意非直角三角形,总有 "|Qt,[D  
/ aWeB  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC A\_[UQNM 5  
le UzD#q  
　　证: OO1zU3n  
/o!vd  
　　A+B=π-C 0d&#A-E  
F| Mr#{g  
　　tan(A+B)=tan(π-C) N VA[Fm  
xTo(b*!4  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ]t_7H>Xu  
l,8J%FeI  
　　整理可得 UY5X"M  
>2O;5/;x  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P(DdMR$4E  
3"$j_NM  
　　得证 QVi`Tm!0S  
Fp:z>sc BN  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 C,)-/+'s  
4bB/A5*G  
其他非重点三角函数 ]>.|6  
l9@#R}Z  
　　csc(a) = 1/sin(a) d)Tv4xQ  
+eg1I A+  
　　sec(a) = 1/cos(a) uQlgdss  
aw2e_FkSF+  
　　 W|7NXm*7F  
Ty'B9bc*  
双曲函数 UMt~,=y~ ;  
;^5MgSX  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 w(E'D#%OH7  
^`n@e_Kf!r  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~P`&f /  
"y A<NJ5  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) }^:@nw=  
I8e{X[  
　　公式一： kW&2'X2  
e[:L=E&,`o  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0CkXPVC  
[t( f<p!  
　　sin（2kπ＋α）= sinα N@qknyia   
b_<9/@=<  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ('iltE-@Bu  
Pa" .Bns  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4xG;5d]  
b9<*`  
　　cot（kπ＋α）= cotα Nkf59 8S  
63JZFWy  
　　公式二： |*R"f-y  
\$AQg%"  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： A +?55C   
MrG^itM  
　　sin（π＋α）= -sinα q&Hg S[Uv[  
$+zyk |IVC  
　　cos（π＋α）= -cosα j|1>b~q  
)S.qcwBD  
　　tan（π＋α）= tanα f5RnTL@wt  
dc$CWT@#f  
　　cot（π＋α）= cotα ="?eQwm.t  
_=RrIR  
　　公式三： 8\` 4-I>  
e }w)7h  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： hG]H1/w  
X}tY#}G p  
　　sin（-α）= -sinα E( ;v=c  
t)cLV(t(0  
　　cos（-α）= cosα bV#i\  
=6|D7f  
　　tan（-α）= -tanα JNH8$v 8D  
"it^ &}  
　　cot（-α）= -cotα Ae:ktm^P  
_ z?s3 /  
　　公式四： 9WdQ0f1k  
_pXKs^((v  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： M36 4 }  
xO:%wR';  
　　sin（π-α）= sinα ('JbQVhGv^  
Xw#f U=;%7  
　　cos（π-α）= -cosα (C5*/!^ c  
o?p[Y|9y  
　　tan（π-α）= -tanα d$*mfC  
\I5& yc2"M  
　　cot（π-α）= -cotα _f`7k3B V  
|k[,U#)N5  
　　公式五： o36`}P  
Dk3YKTp|d  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [P~Od^;9  
g :G2 H#(w  
　　sin（2π-α）= -sinα {Gkip%"G&  
Z6:uM kW<O  
　　cos（2π-α）= cosα OM^=z]4d=  
3Gf \2!  
　　tan（2π-α）= -tanα "a'WEJu  
n( ]i9]D&'  
　　cot（2π-α）= -cotα hkD+5pE_  
2T!\)O z`  
　　公式六： zB=89:M  
Sh2r Es:&  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： eiy\Hp  
b8MZ 1-q:`  
　　sin（π/2+α）= cosα vK|TWp  
aC]N,fws  
　　cos（π/2+α）= -sinα prX~gsnR]  
: BN@Jq  
　　tan（π/2+α）= -cotα |8GgI  
aet0' 31e  
　　cot（π/2+α）= -tanα =1R\WvT  
c3~&rUON[  
　　sin（π/2-α）= cosα =VzjoBW  
,%AQW]F  
　　cos（π/2-α）= sinα LZm$ Pv  
+'l=9-S  
　　tan（π/2-α）= cotα _&maBO  
VK\[4'Va8  
　　cot（π/2-α）= tanα Z09l 2Mi}  
ZL7/q^EtK  
　　sin（3π/2+α）= -cosα -&"*rkHe  
`B+(/JSoD  
　　cos（3π/2+α）= sinα CJNdr7WQf(  
r[hq?Vc;j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα BL\Zl3N  
{w 01m :k  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 5@n9| d:7F  
[!4g=gM8'|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα gq>}`yiC  
 6;q+"47;  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ,Yq"?v2f  
9F7 zm7U  
　　tan（3π/2-α）= cotα V~( -~{  
flZaOAh}  
　　cot（3π/2-α）= tanα ^?wN;z'  
Gm/Xm#,$  
　　(以上k∈Z) > !E.`A:X  
VGgfS8y7  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 bMJ+e%If  
6Wk3]Su<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 6 S +g9S>  
+#sE0uz@!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } RXFs0G  
%h-9i]|*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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