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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 25-me)  
1]Hyd  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 2qfCkel.  
k: l5nAg  
　　1、三角函数本质： zpj'  
I=7|k''t  
　　三角函数的本质来源于定义 ~arEk_1,  
qP(;G89J  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 kW52a *^G  
Lr3c}lC!4t  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 G"H ")h  
PyQ3 GZ;6_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： a0<a4J]i  
\:n[fI  
　　推导： un,X[X  
>apRwr  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 qS`[f*K;k  
79 1ze  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) "|(1Cd3C&  
 =9yGgN  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) jCpCam7  
1jq/s`wqO  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 mb9@.#.  
+Z)/bR  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） -l"1LtG#v  
^ 8dSi  
　　[1]  >xZ.2S)  
"@A,EvT%8  
　　两角和公式 ^zz].zsL:  
p!d|@/X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB i%KsF-{.  
j#-Aqm[  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )0h[Xxl;  
X GS T#;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `u#(@wHlA}  
"GqWT0y{ O  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB }7u'i\K$  
Jqu+,GT@  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) wZ i  
U(V*m|G@  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @!~_(udm^  
< MfKJ@*V  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  kD+;q1kK  
DKX T/&6  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) @If&3t4N  
f[[zFYi.  
倍角公式 }CT<moa  
C?nzXC/ c"  
　　Sin2A=2SinA•CosA M /1zJN%A8  
(-22ga],W  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]d5byr:?  
Z`-&`~X  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |b@y`it%S  
^h8Q(,I  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） f,A`\RK!  
=mV{,6Gr  
三倍角公式 yF1"h[  
i?Ext-ak9  
　　 mO|EI5uCT  
,6{Q k D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) lW"R,Pi=0  
oOZp4G^GC  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) jR!3e%  
4 {_Zp  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) # y*p 4 <d  
G+VgD+`x  
三倍角公式推导 1uXg'Lw%U  
T._D'R>&  
　　sin3a 6@j!  
\lA6Ce+v  
　　=sin(2a+a) 'X=]'#d  
#AM<0  
　　=sin2acosa+cos2asina OF26VMxoZ  
68f5L-p>  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina r9Wc!:^  
A r{LwJfMH  
　　=3sina-4sin³a 'MpXg@M  
i# 079h  
　　cos3a 1GP(VL#gT  
:[6M8q HdK  
　　=cos(2a+a) TM;Y'E>nx  
[XydA&s  
　　=cos2acosa-sin2asina P>M%ZLg}  
 g$^L#mU  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -hpyzmgD^  
&i|*[FV  
　　=4cos³a-3cosa tC8,E1,V!  
VH/s|.&  
　　sin3a=3sina-4sin³a FH ae0GE(  
c&I|MQ]V  
　　=4sina(3/4-sin²a) $O{p : }q^  
av=RY3):  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  g?$t1^  
U~jo-u,  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~5L`*|%v  
" Ctq  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3TbYwx~5#&  
7e.1Y]c -+  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] pB,0 ~fw  
bso(~uN0P  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Iqa>/he  
d4 k.^%  
　　cos3a=4cos³a-3cosa oCLRJqX  
]4+%*]\U  
　　=4cosa(cos²a-3/4) f@vh'{v  
meV*  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] rxl'_QM>  
;.-^`R}_+  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Nb(>jJW5["  
b}F4= mC  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Gx|?p  
D1VjsBPD  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ?Vul [8{[  
*D$m?]B!{  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (UEDh  
{A"_7r*F-  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?N)j^~  
c[TW3Xr5y  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] NUFvD7]q}  
0rC,Cfvw  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Y{`9565~  
kTza8(.sp  
　　上述两式相比可得 MoL }gC=  
&?6<(a  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) G<Hq)JE^  
z47g *   
半角公式 RvpHe $  
?mXQU13&(  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ?C tRlxY  
E/V*-) 6  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 4j| ">6  
2mcC70O  
和差化积 .EB~ssp@!  
!:cL*5eAD  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =}'{7X  
Hm4qBynB  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] mch,2u=Jv  
?AA%a9^  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ]mp^o6  
h ^hR2  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] T-?,sQ} /`  
No6xI d  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Vi;,  
6g%j WG  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ,&fD l  
{Kx1kr?  
积化和差 {^c@ fTO  
0^ZNRf|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] KV<IS1|  
=9*}>c|>  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] _zqEa'%j  
Mt]1>AWA'|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] {;D1VT+  
_"rm  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] JWaLP]JW  
h@._  
诱导公式 ]+OcE/_{  
GL"I"O%<  
　　sin(-α) = -sinα P;.S5cv  
/r6{wt  
　　cos(-α) = cosα oLm^%"':3&  
*ge\4 #I  
　　sin(π/2-α) = cosα +QpDSq  
?M#F:2(  
　　cos(π/2-α) = sinα MR`F:?  
a0R;d?  
　　sin(π/2+α) = cosα g4UO>4~  
0jvU%i  
　　cos(π/2+α) = -sinα >@GXSzJn  
`Sm5l0_r  
　　sin(π-α) = sinα .^_v Q&y\Q  
A@V9R!~  
　　cos(π-α) = -cosα &@+/_8A\d  
r\T1L?8  
　　sin(π+α) = -sinα iGA|iBRf  
~GmKyB!  
　　cos(π+α) = -cosα ";d2\R>a  
z#Yfh\Uw  
　　tanA= sinA/cosA 1)2 Dr+|  
<SQ\`q=o  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα +}i)| No]  
\0I~^!=Y  
　　tan（π/2－α）＝cotα bE;y\LQv  
<oF+DEx=  
　　tan（π－α）＝－tanα v_MkC7vOA  
DyY dt  
　　tan（π＋α）＝tanα R>m|S<e  
L^$QGKA  
万能公式 b:\cOJI]J  
|@y* E(  
　　 I +4KT  
Q,G d=n7  
其它公式 p zxx Pe1  
;/q (|>h  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 UHi)T=R  
>J~I@%s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Vp^:,=$@6  
N7=z |  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 B>aU ]  
rsz `<2mq  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 .vd@Sm  
.Y^Lg|K9U+  
　　对于任意非直角三角形,总有 HH_%wj(H  
N3H&ce~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ()Ib"sD  
.JI]"u-)7  
　　证: <-`Az-< b  
CaX*H`|  
　　A+B=π-C Q ,t}$G[  
v^}<]dSBaH  
　　tan(A+B)=tan(π-C) .~a`vuK< `  
(I<sW(I^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) \?q*(#9q  
.5=Ts+dQ  
　　整理可得 ~Mkqo1LDs  
wR6um'f w  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ]NCxmUxN  
2xG=tV  
　　得证 FJY3.I`7  
@{vb V\_8]  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 aR+`4w  
<Ki<x:~!  
其他非重点三角函数 .5d|.T  
BF(f  
　　csc(a) = 1/sin(a) ;%7V+0PmH  
NBO8`Q4xf  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3<N w  
P<(LDFKX3  
　　 3ws{MU['  
DjC>sq  
双曲函数 %Hy-Y{U  
,PKC/BU>  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Nt`~" aG  
y!P^G]x  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~**${O  
jsa6{z[a  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) LJmya6F  
zX=q vy(  
　　公式一： ;yat x,4;  
o ("S ur  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： FjQIY*y  
)pc&H9Pl3  
　　sin（2kπ＋α）= sinα v|c `N9,  
Bs\Hx)p  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  }4l_q  
G{q+ UYr-  
　　tan（kπ＋α）= tanα cP?v~!k+  
)vG%# Bj  
　　cot（kπ＋α）= cotα $_g5i(ib  
,sy{8Pg6  
　　公式二： gifas*9<$  
+8X1p&"  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： h* >Vi7  
,$g J wL  
　　sin（π＋α）= -sinα wtfv;cs^\  
D]O;dn  
　　cos（π＋α）= -cosα S6c Mc{@$  
p?+U;rNPc  
　　tan（π＋α）= tanα MH<=b  
zQh7  
　　cot（π＋α）= cotα ]@]'7RH  
dI\fT{>.  
　　公式三： B3p vJ`8S  
v#)A@4=Q  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^3 jdMm  
S<`M"p?%*q  
　　sin（-α）= -sinα '4ezLtir  
rMc1s}ik'2  
　　cos（-α）= cosα ;^%(+#  
4K`97nJ  
　　tan（-α）= -tanα fX,6%g  
rab"!(cC$  
　　cot（-α）= -cotα od0( ,;+e  
Vg)uJVw  
　　公式四： `pqdnRq#  
%W|,HN?$"u  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @rigk  
EwLss(f]*  
　　sin（π-α）= sinα X=1jD  
vfd?->`  
　　cos（π-α）= -cosα NRa:{  
`B\iI<I  
　　tan（π-α）= -tanα m/MY/L  
5*!H0w!)\  
　　cot（π-α）= -cotα lwa\[[$=  
<i4Q,kK  
　　公式五： |9WE6k2  
E&yXz$>DK  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /tVl!DAv  
VbMvd[^  
　　sin（2π-α）= -sinα WD{Bil  
CZAs&X ]W  
　　cos（2π-α）= cosα qnb-Fe  
nlg#y53  
　　tan（2π-α）= -tanα fwb{(I[Gm  
!4KrX[h  
　　cot（2π-α）= -cotα [Z5p8*  
xu_br2-  
　　公式六： uqvA)]OQ  
SxAd@q{8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： wn ^='T  
U8o40 ,  
　　sin（π/2+α）= cosα rPGDy;t'  
iT;Lc;~;  
　　cos（π/2+α）= -sinα ^VWkPpkS  
~f-CPqG/  
　　tan（π/2+α）= -cotα U]^ z$]  
|;dCHk^Xb  
　　cot（π/2+α）= -tanα "S=l9j/  
V0}ZF^o,  
　　sin（π/2-α）= cosα s3dGY  
aYVM8L2  
　　cos（π/2-α）= sinα (b <[Z>  
fQp`qyAQ  
　　tan（π/2-α）= cotα ;yVd([|A(  
qsh<=B@2  
　　cot（π/2-α）= tanα 7] i04  
llyh&X  
　　sin（3π/2+α）= -cosα \,M'HIcN  
L :!_j  
　　cos（3π/2+α）= sinα ^k\fi~Ic  
O)AY(tT`  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @V ^a0jjS  
IP7D)As8  
　　cot（3π/2+α）= -tanα [zu~Nr3K[  
Nwx  
　　sin（3π/2-α）= -cosα F/fo8*28\!  
-!5#K/(nQ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα =0|0S ^C  
DS \a#\'  
　　tan（3π/2-α）= cotα PBAxRCx-  
&j*UdF(ib  
　　cot（3π/2-α）= tanα /`9/ P`L&  
JyZP(x  
　　(以上k∈Z) zjx#7,K  
78_\`L  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 |&9>`R(K  
z}KEQ*~8  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = E2S_p6_(  
 ha,{o?O  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } X0Gy[cd  
;TeI!J&  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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